图 1 最简单的RC电路
RC电路顾名思义是由电阻和电容所组成的电路，最简单的形式如图 1，该电容已经充电过，可视为一个电源供应器接上一个电阻，如果未充电过则储存电荷量 $$Q$$ 为零，甚幺事也不会发生。
由于电路满足克希何夫定律(Kirchhoff’s law)，亦即通过整个迴圈的总电位降为零，故可列式为
$$\displaystyle V=\frac{Q}{C}=IR$$
其中 $$V$$ 为电阻两端的电压，$$C$$ 为电容，$$Q$$ 为电容所储存的电量。
又因为电容的电荷随时间 $$t$$ 减少产生电流 $$\displaystyle-\frac{dQ}{dt}=I$$
联立两式可解得 $$\displaystyle \frac{dQ}{dt}=-\frac{1}{RC}Q$$，
分离变数后积分得 $$\displaystyle Q=Q_0e^{-\frac{t}{RC}}$$，其中 $$Q_0$$ 为一开始电容储存的电荷量。
由上式可以知道电荷量会随时间呈现指数递减，
电流则是 $$\displaystyle I=-\frac{dQ}{dt}=\frac{Q_0}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$$也是随着时间做指数递减，
我们通常把电流递减到起始值的 $$\frac{1}{e}$$ 倍所需时间称做时间常数(time constant) $$\tau=RC$$。
图2 含直流电压的RC电路
另一种常见的RC电路是加上一个定压电源（电池）$$\epsilon$$，如图 2。假设一开始电容未充电，依据克希何夫定律可得
$$\displaystyle\epsilon=\frac{Q}{C}+IR=\frac{Q}{C}+\dot{Q}R$$
上式为一阶微分方程，可用分离变数法积分得
$$Q=\epsilon C(1-e^{-\frac{t}{RC}})$$
这表示电容所储存电荷量从 $$0$$ 开始递增，
直到经过无穷久后，电容才会充饱电 $$Q=\epsilon C$$，
而电流 $$\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}=\frac{\epsilon}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$$ 告诉我们电流随时间做指数递减直到电容充饱电。
电容本身可以储存能量，其储存功率是
$$\displaystyle P_C=d(\frac{Q^2}{2C})/dt=\frac{\epsilon^2}{R}(e^{-\frac{t}{RC}}-e^{-\frac{2t}{RC}})$$
再看电阻消耗的功率 $$\displaystyle P_R=I^2R=\frac{\epsilon^2}{R}e^{-\frac{2t}{RC}}$$，
而电池供应的功率 $$\displaystyle P=I\epsilon=\frac{\epsilon^2}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$$
我们可以发现 $$P=P_C+P_R$$，亦即能量是守恆的。以力学系统来作比拟，电容本身仅将能量储存，并不会耗散能量，这就像是力学系统中的保守力，而电阻则像是摩擦力一般，将供应的能量转换成热能耗散掉。
图3 含交流电压的RC电路
在现今蓬勃发展的积体电路，比较常见的是利用RC电路施加交流电做出低频或高频的滤波器，如图 3。
首先讨论低频滤波器。只要输入电压是週期波，即使不是正弦波也可以透过傅立叶级数展开成正弦波的组合，所以可以单纯假设输入的交流电压 $$V_{in}=V_0e^{i\omega t}$$ 为一正弦波，
取输出电压 $$V_{out}$$ 为电容两端跨压，
则 $$\displaystyle V_{out}=V_{in}\frac{1/i\omega C}{R+1/i\omega C}=V_{in}\frac{1}{1+i\omega RC}$$
上式中我们使用了电容的阻抗(impedance)为 $$1/i\omega C$$ ，
将两端取绝对值可得 $$\displaystyle |V_{out}|=|V_{in}||\frac{1}{1+i\omega RC}|=V_0\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$$ ，
当角频率 $$\omega$$ 很大时，$$|V_{out}|$$ 会变得很小甚至趋近于零，
反之，当角频率 $$\omega$$ 很小时，$$|V_{out}|$$ 会很接近 $$V_0$$，
故此电路可将高频的讯号滤掉，保留下低频的讯号。
接下来是高频滤波器，这次的输出电压 $$V_{out}$$ 为改成取电阻两端跨压，
则 $$\displaystyle V_{out}=V_{in}\frac{R}{R+1/i\omega C}=V_{in}\frac{1}{1+\frac{1}{i\omega RC}}$$
将两端取绝对值可得 $$\displaystyle |V_{out}|=|V_{in}||\frac{1}{1+\frac{1}{i\omega RC}}|=V_0\frac{1}{\sqrt{1+1/\omega^2 R^2 C^2}}$$，
当角频率 $$\omega$$ 很小时，$$|V_{out}|$$ 会变得很小甚至趋近于零，
反之，当角频率$$\omega$$ 很大时，$$|V_{out}|$$ 会很接近 $$V_0$$，
故此电路可将低频的讯号滤掉，保留下高频的讯号。
高低频的滤波器广泛用于生活中的电器，如收音机接收讯号时必须选用适当的R和C值接收想要的讯号，并且可透过可变电阻或可变电容调整接收的频率；麦克风中的放大器需要将适当的频率範围放大，捨弃掉高频的杂讯和低频的干扰。
RC电路在许多IC内也相当重要，比方说电晶体（BJT）、场效电晶体（MOSFET）的模型可简化成较複杂的RC电路，而这两个电路元件是製作电压、电流、功率放大器，甚至是电流供应器不可或缺的重要元件。或许你会想说乾脆用RC电路就可以取代这些电路元件，但是在IC要求体积小的情况下RC电路就显得相形见绌，因此我们仍需要这些电路元件，但是背后使用的原理是相同的。
参考文献：
